Частица в одномерной прямоугольной яме    

       Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице, находящейся в потенциальной яме с бесконечно высокими «стенками». Такая яма описывается потенциальной энергией U(x) следующего вида:

где l – ширина ямы, а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 5.1).

х

Рис. 5.1

       Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде:

  . (5.2.1) 

       По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы ямы, поэтому вероятность ее обнаружения за пределами ямы равна нулю. На границах ямы волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в таком случае имеют вид:

  . (5.2.2) 

В пределах ямы ( ) уравнение Шредингера (5.2.1) сводится к уравнению

  (5.2.3) 
  (5.2.4) 

       Общее решение дифференциального уравнения:

.

А т.к. по (5.2.2) , то B = 0. Тогда

  , (5.2.5) 

уравнение выполняется только при , где n – целые числа, т.е. необходимо, чтобы

  . (5.2.6) 

       Из выражений (5.2.4) и (5.2.6) следует, что энергия частицы зависит от n:

  , (5.2.7) 

где n = 1, 2, 3… .

       Т.е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, удовлетворяется только при собственных значениях En, зависящих от целого числа n. Следовательно, энергия En частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантовые значения энергии En называются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровниглавным квантовым числом.

       Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими стенками может находиться только на определенном энергетическом уровне En, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии п.

       Подставив k в (5.2.5), из (5.2.6) найдем собственные функции:

       Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки (4.3.3), которое для данного случая запишется в виде

.

       В результате интегрирования получим , а собственные функции будут иметь вид:

  . (5.2.8) 

а б

Рис. 5.2

       Графики собственных функций (5.2.8), соответствующие уровням энергии (5.2.7) при п = 1, 2, 3, приведены на рис. 5.2, а. На рис. 5.2, б изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы: для п = 1, 2, 3… . Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с п = 2 частица не может находиться в центре ямы, в то время как одинаково может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

       Из выражения 5.2.7 следует, что энергетический интервал между двумя соседними уровнями равен:

  . (5.2.9) 

       Например, для электрона при размерах ямы (свободные электроны в металле) , т.е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр можно считать практически непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с размерами стенки ( ), то для электрона , т.е. получаются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр). Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками приводит к квантовым значениям энергии и координат, в то время как классическая механика на энергию этой частицы лишних ограничений не накладывает.

       Кроме того, квантово-механическое рассмотрение этой задачи приводит к выводу, что частица в потенциальной яме с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная . Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты Δx частицы в яме шириной l равна: Δx = l. Тогда согласно соотношению неопределенностей, импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность импульса:

       Такому разбросу значений импульса соответствует кинетическая энергия . Все остальные уровни имеют энергию, превышающую это значение.

       Из функций (5.2.1) и (5.2.7) следует, что при больших квантовых числах , т.е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше п. Если п очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней,и характерная особенность квантовых процессов – дискретность – сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора, согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

       Более общая трактовка принципа соответствия: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применимости, причем в определенных предельных условиях новая теория переходит в старую.