В п. 2.3 мы получили выражение для распределения молекул по скоростям (распределение Максвелла):
Из этого выражения легко найти распределение молекул газа по значениям кинетической энергии K. Для этого перейдём от переменной υ к переменной  :
где dn(K) – число молекул, имеющих кинетическую энергию поступательного движения, заключённую в интервале от K до K+dK. Отсюда получим функцию распределения молекул по энергиям теплового движения:
| |
|
|
(2.6.1) |
Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа:
то есть получаем результат, совпадающий с прежним результатом, полученным в п. 1.3.
Итак, закон Максвелла даёт распределение частиц по значениям кинетической энергии, а закон Больцмана – распределение частиц по значениям потенциальной энергии. Оба распределения можно объединить в единый закон Максвелла – Больцмана:
| |
 .
|
|
(2.6.2) |
Здесь n0 – число молекул в единице объёма в той точке, где U = 0, E = U+K – полная энергия.
В последнем выражении, потенциальная и кинетическая энергии, а следовательно и полная энергия Е, могут принимать непрерывный ряд значений. Если же энергия частицы может принимать лишь дискретный ряд значений Е1, Е2…, (как это имеет место, например, для внутренней энергии атома), то в этом случае распределение Больцмана имеет вид:
| |
 ,
|
|
(2.6.3) |
где Ni – число частиц, находящихся в состоянии с энергией Ei , а A> – коэффициент пропорциональности, который должен удовлетворять условию
где N – полное число частиц в рассматриваемой системе.
Тогда окончательное выражение распределения Максвелла – Больцмана для случая дискретных значений энергий будет иметь вид:
| |
|
|
(2.6.4) |
|
Распределение Больцмана